Tip:
Highlight text to annotate it
X
U ovom snimku želim da vas upoznam sa idejom granične vrednosti ili limesa, što je veoma važna ideja.
To je zapravo ideja na kojoj se zasniva čitav infinitezimalni račun.
Ali, iako je tako važna, ova ideja je zapravo vrlo, vrlo jednostavna.
Hajde da ovde nacrtamo funkciju - zapravo, hajde da zadamo funkciju
ovde. Jednostavnu funkciju. Hajde da zadamo f(x) - neka f(x) recimo bude (x-1)/(x-1).
Vi sada možete reći: "Hej, Sale, pa pogledaj, ista stvar se nalazi i u deljeniku i u deliocu.
Ako podelim nešto sa istim tim, rezultat će prosto biti jedan! Zar ne mogu ovo da pojednostavim tako da bude prosto f(x)=1?"
A ja na to mogu da kažem, "Pa, skoro ste u pravu, razlika između f(x)=1 i ovoga što imamo
ovde leži u tome što je ovo ovde nedefinisano u slučaju x=1. Ako odredimo - napisaću to - ako imamo
f(1), šta se dogodi? U deljeniku, dobijate (1-1), što je... hajde da to i napišem...
U deljeniku dobijate 0, a u deliocu dobijate (1-1), što je takođe 0. A sve što je podeljeno
sa 0, uključujući 0/0, to je nedefinisano. Tako da možete pojednostaviti - možete reći da je ovo
isto što i f(x)=1, ali morali biste da uzmete u obzir ograničenje da x ne može biti jednako 1. Sada su
ovo i ovo jednaki. I jedno i drugo biće jednako 1, za svako x osim za 1. Ali
kada je x=1, ovo postaje nedefinisano. Ovo je nedefinisano i ovo je nedefinisano. Kako bih napravio grafik ove funkcije?
Hajde da nacrtam grafik... Ovo mi je y=f(x) osa, a ovo ovde mi je x-osa, i recimo
da je ovo tačka x=1, ovo ovde bi bilo x=-1, ovo je y=1, tamo gore mogu da napravim -1, ali to
nema neki značaj kada je u pitanju ova funkcije ovde; hajde da napravimo grafik. U suštini, za
svako x izuzev 1, f(x)=1. Tako da će grafik izgledati ovako... osim kod 1. Kod 1, f(x) nije definisano, tako da ću
ovde napraviti pauzu, ovaj krug, kako bih označio da ova funkcija
nije definisana - ne znamo čemu je jednaka ova funkcija na 1, to nismo definisali.
Ova definicija funkcije ne govori mi šta da radim kod broja 1 - ona je bukvalno nedefinisana kada je x=1.
Sve u svemu, ovde imamo funckiju, i još jednom, kad bi vas neko pitao šta je f(1), vi biste...
recimo, pa, funkcija je zadata ovako, i vi idete na x=1. Uh, čekajte, postoji prazan prostor u mojoj funkciji
ovde, ovo nije definisano. Hajde da napišem ponovo... pa, malo je redundantno, ali opet ću napisati.
f(1) je nedefinisano. Ali ako vas pitam, kakva je situacija kada se približavamo
x=1? Sada počinjemo da se konkretnije bavimo idejom granične vrednosti, odnosno limesa. Dakle, x se sve više i više bliži 1...
čemu se funkcija približava? Sve ovo vreme, čemu je to ona sve bliža i bliža?
Na levoj strani, koliko god da ste blizu 1, sve dok niste baš na 1, f(x)=1.
Ovde sa desne strane situacija je ista. Možete reći - i ova ideja će vam postajati sve prirodnija
kako budemo radili primere - da je granična vrednost kako se
x (i lim, skraćenica za limes) - gde se x približava 1, f(x) je jednako...
I dok se približavamo možemo da dođemo neverovatno, beskonačno blizu 1 sve dok nismo baš na 1...
I naša funkcija će biti jednaka 1, sve je bliža i bliža 1,
praktično je na 1 sve vreme. Dakle, u ovom slučaju, možemo reći da limes f(x) kako se x približava 1
jeste 1. Dakle, kroz ovaj veoma elegantan način označavanja, mi jednostavno kažemo, "Vidite, čemu se funkcija bliži
kako se x sve više i više bliži 1?"
Daću vam još jedan primer, u kom je u pitanju kriva, da imate opštu predstavu.
Recimo da imam funkciju f(x) - hajde da je, čisto raznovrsnosti radi, nazovem g(x).
Recimo da imamo da je g(x) jednako - mogu ovako to da zadam, možemo to da definišemo kao x²
kada x nije jednako 2, i recimo da kada je x=2, to je jednako 1. Dakle, opet imamo interesantnu
funkciju koja - kao što ćete videti - nije sasvim neprekidna. Postoji diskontinuitet. Hajde da nacrtamo grafik.
Dakle ovo mi je y=f(x) osa, a ovo ovde mi je x-osa. Recimo da je ovo x=1, a ovo x=2,
ovo je -1, ovo je -2... Dakle svuda osim kada je x=2, imamo jednakost sa x². Dakle, nacrtaću to ovako
ovo će biti parabola, ona izgleda ovako... Trebalo bi da izgleda...
Hajde da nacrtam bolju verziju parabole. Dakle, ona izgleda otprilike ovako, nije baš da je u pitanju najlepše
nacrtana parabola u istoriji crtanja parabola, ali mislim da će vam dati ideju kako parabola
izgleda; bar se nadam. Trebalo bi da bude simetrična... Da ja nju nacrtam ponovo, pošto je ovo malo ružno.
Ovo već bolje izgleda, u redu, dobro, to je to. U redu.
Ovo bi trebalo da bude grafik samo za x², ali nemamo x² kada je x=2. Dakle, opet, kad je x=2,
trebalo bi da ovde bude malo diskontinuiteta, tako da ću ovde napraviti prekid,
jer kada je x=2, funkcija je jednaka 1.
Ne crtam ih baš u istoj razmeri... Na grafiku za f(x)=x² ovo bi bilo 4, ovo bi bilo 2,
ovo bi bilo 1, ovo bi bilo 3. Dakle, x=2, naša funkcija iznosi 1.
Ova funckija je malo bizarna, ali možete tako zadati funkciju, možete definisati funkciju kako god
hoćete da je definišete! I tako, kao što možete primetiti, ovo je isto kao grafik za f(x)=x² osim što, kada dođete do 2,
tu postoji ovaj raskorak, jer ne koristite "g(x)=x² kada je x=2", nego koristite "g(x)=1".
Izvinjavam se ako sam govorio f(x).
Koristite g(x)=1, tako da tačno na 2, dolazi do pada na 1, a onda sledi nastavak po x².
Da vidimo par stvari u vezi sa tim. Da bih prosto odredio vrednost funkcije - g(2),
možemo prosto pogledati kako je funkcija zadata. U redu, kada je x=2, koristim ovu situaciju ovde,
i ona mi kaže da će vrednost biti 1. Hajde da postavim zanimljvije pitanje, ili
pitanje koje je možda zanimljivije. Koja je granična vrednost kada x teži 2 u funkciji g(x)? Opet, elegantno označavanje, ali
pitanje je zapravo veoma jednostavno. Ovo znači "kako se x sve više i viši bliži 2...
što ste bliži i bliži - ovo nije precizna definicija, time ćemo se pozabaviti u narednim snimcima -
kako x postaje sve bliži i bliži broju 2, čemu se g(x) približava? Dakle, ako dođete do 1,9, pa onda 1,999 i onda 1,999999
i onda 1,9999999, čemu se g(x) približava? Ako bismo išli iz pozitivnog smera,
recimo da imamo 2,1, šta je g(2,1)? Šta je g(2,01)? Šta je g(2,001)?
Šta je to što se približava kako idemo ka njemu?
Možete sagledati to vizuelno tako što prosto nacrtate grafik. Kako g postaje sve bliže i bliže 2...
I ako to pratimo na grafiku, vidimo da se približavamo 4,
iako to nije mesto na kom se funkcija nalazi - funkcija pada na 1 - granična vrednost g(x) kako se
x bliži 2 iznosi 4. Ovo možete uraditi i sa brojkama, koristeći digitron.
Hajde da to i uradim, mislim da će biti zanimljivo. Da pripremim digitron...
Samo da ja pripremim svoj stari, dobri TI-85... Evo, dakle, mog digitrona... I možete reći, numerički,
u redu, čemu će se približavati dok se bližimo x=2? Hajde da probamo 1,9. Za x=1,9, koristili biste
ovu opciju ovde gore. Imali biste, dakle, 1,9², tako da biste dobili 3,61.
A šta ako se još više približimo broju 2? Neka bude 1,99, hajde da i to dignemo na kvadrat,
i eto me na 3,96. Šta ako odaberem 1,999 i podignem to na kvadrat?
Dobiću 3,996. Primećujete kako smo sve bliži našoj tački.
Ako se jako približim - 1,999999999999²? Do čega ću doći? Zapravo to neće biti baš
tačno 4 - ovaj digitron je prosto zaokružio - jer tu smo već kod broja koji je vrlo, vrlo,
vrlo, vrlo blizu 4. A možemo da probamo i nešto iz pozitivnog smera, i u pitanju
mora da bude isti broj kada se približavamo onome čemu želimo da se približimo odozdo,
i kada se nalazimo tik iznad toga čemu pokušavamo da se približimo. Tako da, ako probamo 2,1², dobijamo 4,4...
Sada idem nekoliko koraka unapred...
2,0001². Ovo je puno bliže broju 2. Sada smo puno bliži broju 4.
Što smo bliži broju 2, izgleda da smo sve bliži broju 4.
Dakle, to je numerički način da vidimo da je granična vrednost, limes, kada se x približava broju 2 iz bilo kog smera,
g(x) - iako tačno na 2, vrednost funkcije iznosi 1, jer nije u pitanju neprekidna funkcija -
dok se približavamo broju 2, vrednost je sve bliža i bliža i bliža 4.