Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Učili smo o sabiranju, oduzimanju
i množenju matrica.
Pa možda se pitate, postoji li
ekvivalent deljenju matrica?
I pre nego što dođemo do toga, da vam pretstavim
neke koncepte.
I onda ćemo videti da ima nečega što možda nije
zapravo deljenje, ali je analogno tome.
I pre nego što pretstavimo to, pretstaviću vam
koncept identiteta matrice.
Dakle matrica identiteta je samo matrica.
Označiću je velikim I.
Kada to pomnožim drugom matricom... zapravo ja
neznam da li da za pišem tu tačku ovde... ali kako god,
kada pomnožim nekom matricom, ja
dobijam tu drugu matricu.
Ili, kada pomnožim tu matricu matricom identiteta,
opet dobijam tu matricu.
I važno je shvatiti kada vršimo množenje
matrice da je smer bitan.
Dao sam vam neke podatke ovde koji...
ne možemo samo pretpostavljati, kao što smo prilikom množenja
da A puta B bude uvek isto što i B puta A.
Važno je kada vršimo množenje matrica,
da potvrdimo da je bitno koji pravac koristimo
u množenju.
Ali kako god i ovo radi u oba pravca samo ako
smo suoćeni sa kvadratnim matricama.
Množenje može uspeti samo u jednom pravcu ili drugom ako je matrica
ne-kvadratna, ali ne može uspeti u oba pravca.
I možete misliti o tome prema načinu kojim smo
učili množenje matrica, zašto se to događa.
Kako god, definisao sam ovu matricu.
Sad, kako ova matrica izgleda?
To je zapravo vrlo jednostavno.
Ako imamo 2x2 matricu, matrica identiteta je 1, 0, 1, 0.
Ako želite 3x3 matricu, onda je matrica identiteta 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
Mislim da vidite šemu.
Ako želite 4x4, matrica identiteta je 1, 0, 0, 0,
0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.
Možete videti sve što pretstavlja ovu matricu, za datu
dimenziju... Mislim, možemo ovo produžiti na n sa n
matricu... dok god imate jedinice dijagonalno od gornjeg levog
do donjeg desnog ugla.
Sve ostalo su nule.
Dakle to sam vam rekao.
Da dokažemo da zapravo radi.
Uzmimo ovu matricu i pomnožimo je
sa nekom matricom
i dokažimo da se ta matrica ne menja.
Ako uzmemo 1, 0, 0, 1.
Pomnožimo to sa... nekom generalnom matricom.
Videćemo da ovo radi i sa brojevima.
a, b, c, d.
Čemu je ovo jednako?
Pomnožićemo ovaj red ovom kolonom.
1 puta a plus 0 puta c je a.
A ovaj red puta ova kolona.
1 puta b plus 0 puta d.
To je b.
Onda ovaj red puta ova kolona.
0 puta a plus 1 puta c je c.
I konačno, ovaj red puta ova kolona.
0 puta b plus 1 puta d.
Pa je to samo d.
Eto vam ga.
Može biti zabavna vežba probati ovo
u drugom redosledu.
I naravno još bolja je vežba probati ovo sa
matricom 3x3.
I videćete da će uspeti.
Takođe dobra je vežba misliti o tome kako ovo radi.
I ako razmislite o tome, to uspeva jer dobijate
informaciju o redu odavde, a informaciju o
koloni odavde.
U suštini kad god množite, recimo
ovaj vektor sa ovim vektorom, množite
odgovarajuće članove i sabirate ih, jel tako?
Pa ako imate 1 i 0, 0 će poniš***
sve sem prvog člana u vektoru ove kolone.
Zato vam ostaje samo a.
I zato će otkazati sve osim
prvog člana o vektoru ove kolone.
I zato vam ostaje samo b.
I slično, ovo će poniš*** sve osim
drugog člana.
Zato je ostalo samo c ovde.
Ovo puta ovo.
Ostaje samo c.
Ovo puta ovo.
Ostaje samo d.
I isto važi kada pređete na
3x3 ili n sa n vektore.
To je interesantno.
Imate vektor identiteta.
Sada ako bi smo hteli da dovršimo našu analogiju...
pa da razmislimo o tome.
Znamo iz svakidašnje matematike, da ako imamo 1 puta
a, dobijamo a.
I takođe znamo da 1/a puta a... ovo je samo prosta
aritmetika, nema veze sa matricama... dobijamo 1.
I znate da ovo zovemo inverznim a.
I to je isto što i deljenje brojem a.
Da li postoji analogija u matricama?
Promeniću boje, jer sam koristio ovu zelenu
pomalo preterano.
Postoji li matrica, u kojoj ako bih ako bih imao matricu A i
pomnožio je sa tom matricom... i nazvaću to inverznom
a... postoji li matrica u koja bi mi dala, ne broj 1 već ekvivalenciju 1
već ekvivalenciju 1
u svetu matrica?
Pomoću koje bih dobio matricu identiteta?
I bilo bi još bolje ako bih mogao da obrnem
ovo množenje.
Pa A puta A inverzno bi takođe trebalo biti jednako
matrici identiteta.
I ako razmislite o tome, ako su obe ove tvrdnje tačne,
onda ne samo da je A inverzno zapravo inverzija A
već je i A takođe inverzija od A inverzno.
Tako da su one međusobno inverzne.
To sam mislio da kažem.
I ispostavlja se da postoji takva matrica.
Zove se inverzno od A što sam
rekao već tri puta.
I sada ću pokazati kako da je izračunate.
Da uradimo to.
I videćemo da je računanje za 2x2 vrlo
jednostavno.
Iako možete pomisliti da je pomalo nejasno kako
ljudi dolaze do mehanike toga ili
algoritma za to.
3x3 postaje pomalo čupavo.
Za 4x4 će vam trebati ceo dan.
Sa 5x5 gotovo je sigurno da će te napraviti nepažljivu grešku.
Ako biste uopšte radili inverziju 5x5 matrice.
To je bolje ostaviti računaru.
Kako god, kako bre računamo inverziju matrice?
Uradimo to, i onda ćemo potvrditi da je
zaista inverzna.
Pa, ako imam matricu A, a to je a, b, c, d.
I želim da joj izračunam inverznu.
Njena inverzija će zapravo... ovo će delovati
kao gatanje.
U budućim snimcima, daću vam malo više
intuicije o tome zašto ovo radi, ili ću vam zapravo pokazati kako
je do ovoga došlo.
Ali za sada je bolje da samo zapamtite korake,
samo da dobijete samopouzdanja da možete da
izračunate inverziju.
Imamo 1 iznad ovog broja pomnoženog ovim. a puta d
minus b puta c.
ad minus bc.
A ovaj količnik dole, ad minus bc, to se zove
determinanta matrice A.
I pomnožićemo to.
Ovo je samo broj.
Ovo je samo skalarni količnik.
I pomnožićemo to sa... zamenite
a sa d.
Zamenite gornji levo i donji desno.
I ostaje vam d i a.
I dobijete ova dva, postavite donji levi i
gornji desni... načinite ih negativnim.
Pa je to minus c i minus b.
I determinanta... još jednom ovo je nešto što
ćete morati da primite sa poverenjem za sada.
U budućim snimcima, obećavam vam više podučavanja.
Ali zapravo je sofisticirani naučiti šta
determinanta pretstavlja.
A ako radite ovo u srednjim školama vi
ćete samo morati da znate kako da je izračunate.
Iako ne volim što vam to tako govorim.
I šta je ovo?
Ovo je takođe determinanta od A.
Pa možete videti na ispitu, izračunajte
determinantu od A.
Pa da vam to pokažem.
To je označeno kao A saznakovima apsolutne vrednosti.
I jednako je ad minus bc.
Još jedan način da se ovo kaže je, ovo može biti 1 iznad
determinante.
Pa možete zapisati A inverzno je jednako 1 iznad
determinante A puta d minus b minus c, a.
Kako god da pogledamo ovo.
Ali hajde da ovo primenimo na realan problem pa ćete videti da
nija tako strašno.
Promenićemo slova, da ne mislite da to mora uvek biti
označeno sa A.
Recimo da imam matricu B.
I matrica B je 3... izabraću nasumične
brojeve... minus 4, 2 minus 5.
Izračunaćemo B inverzno.
B inverzno će biti jednako 1 iznad
determinante B.
Šta je determinanta?
To je 3 puta minus 5 minus 2 puta minus 4.
Pa 3 puta minus 5 je minus 15, minus 2 puta minus 4.
2 puta minus 4 je minus 8.
Oduzećemo to.
Pa je to plus 8.
I pomnožićemo to sa čime?
Pa, zamenili smo ova dva člana. To su minus 5 i 3
I označićemo ova dva člana negativnim.
Minus 2 i 4.
4 je bilo minus 4, pa sad postaje 4.
I da vidimo da uprostimo ovo.
Pa je B inverzno jednako minus 15 plus 8.
To je minus 7.
I na kraju to je 1/7.
Pa je determinanta od B... Možemo zapisati determinanta od B
je jednaka minus 7.
Pa je to minus 1/7 puta minus 5,4, minus 2, 3.
Što je jednako... ovo je samo skalar, ovo je samo
broj, pa ga množimo sa svakim elementom...
pa postaje jednako minus, minus, plus.
To je 5/7.
5/7 minus 4/7.
Da vidimo.
Pozitivno 2/7.
A onda minus 3/7.
Malo je čupavo.
Završismo sa razlomcima i tim stvarima.
Ali da potvrdimo da je ovo zaista inverzno
od matrice B.
Da ih pomnožimo.
Pre toga napraviću malo mesta.
ovo mi više ne treba.
Eto vam ga.
Da potvrdimo da ovo puta ovo, ili ovo puta
ovo, zaista daje matricu identiteta.
Da uradimo to.
Menjam boje.
Pa je B inverzno 5/7, ako nisam napravio
neku grešku iz nepažnje.
Minus 4/7.
2/7.
I minus 3/7.
To je B inverzno.
I pomnožimo to sa B.
3 minus 4.
2 minus 5.
I ovo će biti matrica proizvoda.
Treba mi malo mesta za računanje.
Menjam boje.
Uzimam ovaj red i množim ovom kolonom.
To je 5/7 puta 3, daje šta?
15/7.
Plus minus 4/7 puta 2.
Pa minus 4/7 puta 2 je minus... da se uverim
da je to u redu... 5 puta 3 je 15/7.
Minus 4... uhh da, da... 4 puta 2, pa minus 8/7.
Sada ćemo pomnožiti ovaj red sa ovom kolonom.
Pa 5 puta minus 4 je minus 20/7.
Plus minus 4/7 puta minus 5.
To je plus 20/7.
Moj mozak počinje da usporava, jer mora da radi množenje
matrica sa razlomcima i negativnim brojevima.
Ali ovo je odlična vežba za različite
delove mozga.
Kako god.
Idemo dole i radimo ovaj član.
Pa sada množimo ovaj red sa ovom kolonom.
Pa je 2/7 puta 3 6/7.
plus minus 3/7 puta 2.
Pa je to minus 6/7.
Još jedan član.
Malo gimnastike.
2/7 puta minus 4 je minus 8/7.
plus minus 3/7 puta minus 5.
Pa se negativni brojevi isključuju i ostaje nam plus 15/7.
I kada uprostimo, šta dobijamo?
15/7 minus 8/8 je 7/7.
Pa je to samo 1.
Ovo je 0 to je jasno.
Ovo je 0.
6/7 minus 6/7 je 0.
A onda minus 8/7 plus !5/7, to je 7/7.
To je 1 opet.
I eto vam ga.
Uspeli smo da invertujemo matricu.
I bilo je zapravo teže dokazati da je inverzna
množenjem, samo zato što smo morali da radimo sve razlomke
i negativne brojeve.
Ali nadam se da vas to zadovoljava.
I možete probati u drugom pravcu da potvrdite da
ako množite u drugom pravcu, dobili biste opet
matricu identiteta.
Kako god, tako se računa
inverzija 2x2.
I kao što ćemo videti u sledećem videu, računanje
inverzije matrice 3x3 je još zabavnije.
Vidimo se uskoro.