Tip:
Highlight text to annotate it
X
U ovom videu, učićemo o električnom polju
beskonačne ravnomerno naelektrisane ploče.
A zašto ćemo to raditi?
Pa jer ćemo naučiti da je električno polje
konstantno, a onda je tu još jedna
važna stvar za shvatiti kasnije kada budemo pričali
o paralelnim naelektrisanim pločama i kondenzatorima, jer nam
knjige iz fizike kažu da je njihovo polje konstantno
ali nikad ne navode dokaz.
Pa ćemo to dokazati ovde, i osnova svega toga je da
shvatimo koliko je naelektrisanje beskonačne
naelektrisane ploče.
Hajde da posmatramo beskonačno veliku ploču sa strane
i dobijemo neki nagoveštaj.
Recimo da je gledamo sa strane... i recimo
da ova ploča ima gustinu naelektrisanja sigma.
A šta je gustina naelektrisanja?
Jednostavno, pa to je: kuloni po jedinici površine.
Gustina naelektrisanja je jednaka naelektrisanju po površini.
To je sigma.
Kažemo da ovo ima ravnomernu gustinu naelektrisanja.
I pre nego što pređemo na ono što može biti suva matematika,
i ako ovo gledate u svojoj kalkulus plej-listi, možda biste hteli
da se podsetite malo elektrostatike iz
fizika plej-liste, a to je verovatno
dosta jednostavno za vas.
Ako ovo gledate iz fizika plej-liste i još
niste radili kalkulus plej-listu, ne bi trebalo ovo da gledate
jer će vam biti prekomplikovano.
Svakako, nastavimo.
Recimo još jednom da je ovo moja beskonačna ploča, širi se
u svakom pravcu, i čak izlazi kroz ovaj video,
jer je posmatramo sa strane.
Recimo da imam ovde tačkasto naelektrisanje Q.
.
Razmislimo malo ako imam tačku...
recimo da imam neku oblast ovde na mojoj ploči.
Razmislimo malo o tome kakav će rezultantni efekat
da ima na ovo tačkasto naelektrisanje.
Pa, kao prvo, recimo da je ovo tačkasto naelektrisanje na visini h
iznad polja.
Nacrtaću to.
Ovo je visina h, i recimo da je ovo tačka direktno ispod
tačkastog naelektrisanja, i recimo da je ova
udaljenost ovde r.
Kao prvo, kolika je udaljenost između ovog dela naše
ploče i našeg tačkastog naelektrisanja?
Kolika je udaljenost koju ću nacrtati magenta bojom?
Kolika je udaljenost?
.
Pa, Pitagorina teorema.
Ovo je pravougli trougao, pa je kvadratni koren ove stranice
na kvadrat plus ova stranica na kvadrat.
Pa će ovo biti kvadratni koren od
h^2+r^2
I to je udaljenost između ove oblasti i našeg probnog naelektrisanja.
Sada, pokušajmo da dobijemo neki nagoveštaj.
Dakle, ako je ovo pozitivno probno naelektrisanje i ako je ova ploča
pozitivno naelektrisana, sila ovog dela na naelektrisanje
će biti radijalno ka spolja od ove oblasti, znači
biće... samo da obojam drugom bojom jer
ne želim... ići će u ovom smeru, zar ne?
Ali kako je ovo beskonačna ploča u svakom pravcu,
biće i druga tačka na ovoj ploči koja je
na suprotnoj strani od ove tačke gde će
rezultantna sila, njena rezultantna elektrostatička sila na
tačkasto naelektrisanje, biti ovakva.
I kao što vidite, kako imamo ravnomernu gustinu naelektrisanja
i ploča je simetrična u svakom pravcu, x ili
horizontalne komponente sile će se poniš***.
I to je tačno za bilo koju tačku duž ove ploče.
Jer ako izabrete bilo koju tačku duž nje, a mi je gledamo
sa strane, ali ako bismo je gledali odozgo, ako je ovo pogled odozgo
i naravno, ploča se prostire u svakom pravcu
beskonačno i to je gde bi bilo naše tačkasto naelektrisanje, ako bismo
rekli,znate, tu je ova tačka na
ploči i imaće neku y komponentu koja
na ovom pogledu odozgo izlazi iz ekrana, ali imaće i neku
x komponentu, efekat ove x komponente
se poništava.
Uvek možete naći drugu tačku na ploči koja je
simetrično suprotna, i čija se x komponenta elektrostatičke
sile poništava sa prvom.
Po tome, to je samo opširan način da se kaže
da će rezultantna sila na ovo tačkasto naelektrisanje biti samo ka gore.
Mislim da shvatate da sve
x komponente, ili horizontalne komponente
elektrostatičke sile, sve se poništavaju, jer postoje beskonačne
tačke sa svake strane ovog probnog naelektrisanja.
Kada smo to rešili, na šta treba da se fokusiramo?
Pa, treba da se fokusiramo samo na y komponente
elektrostatičke sile.
Pa kolika je y komponenta?
Recimo da ova tačka ovde... Nastaviću da
menjam boje.
Recimo da ova tačka... i još jednom, ovo je pogled sa strane...
vrši...njeno polje u toj tački je e1, i ići će
u tom pravcu.
Kolika je njena y komponenta?
Kolika je komponenta u tom pravcu?
I naravno, odbijaju se
ako su obe pozitivne.
Kolika je y komponenta?
Kolika je?
Pa, ako znamo teta, ako znamo ovaj ugao
y komponenta, ili vertikalna komponenta će biti
električno polje puta kosinus teta.
Kosinus je susjedni kroz hipotenuza, dakle
jednako je hipotenuza puta kosinus teta.
Ako bismo hteli vertikalnu, tj. y komponentu električnog
polja, samo bismo pomnožili jačinu električnog polja
sa kosinusom od teta.
A kako izračunavamo tetu?
Pa, ovo teta je isto kao ovo teta iz
osnovne trigonometrije.
A koliki je kosinus od teta?
Kosinus je susedni kroz hipotenuza
zar ne?
Kosinus teta je jednak susedna stranica kroz hipotenuza.
.
Kada gledamo ovaj ugao, koji je jednak
ovom, koliko je susedna stranica kroz hipotenuza?
Ovo je susedna, ovo je hipotenuza.
Šta dobijamo?
Dobijamo da y komponenta električnog polja usled samo
ovog malog parčeta ploče, y komponenta električnog polja
nazovimo to sub 1 jer je ovo
samo mali dio ploče.
Jednak je električnom polju uopšte, jačina
električnog polja ove tačke, puta kosinus
teta, što je jednako električnom polju
puta susedna...puta visina... kroz hipotenuzu...
kroz kvadratni koren od h^2+r^2.
Okej.
hajde da vidimo možemo li izračunati jačinu
električnog polja, onda je možemo uvrstiti ovde
I izračunaćemo y komponentu iz ove tačke.
I zapravo, nećemo samo izračunati
električno polje iz ove tačke, već ćemo
izračunati električno polje iz prstena koji ovo okružuje.
Da to malo bolje prikažem
ili nacrtam.
Ovo je ponovo moja beskonačna ploča.
Nacrtaću je žutom bojom jer
sam je i pre nacrtao žutom.
Ovo je moja beskonačna ploča.
Ide u svakom pravcu.
.
I imam naelektrisanje koje lebdi iznad ove ploče
na nekoj visini h.
U ovoj tački ovde, ovo bi moglo biti tačno ovde
možda, ali ja ću nacrtati prsten
koji je jednak radijusu oko ove tačke ovde.
Dakle ovo je r.
Nacrtajmo prsten jer će sve ove tačke biti
na istoj udaljenosti od našeg probnog naelektrisanja, zar ne?
Sve su one potpruno iste kao ova tačka koju sam nacrtao ovde.
Skoro biste ovo mogli da vidite kao presek ovog prstena
koji crtam.
Izračunajmo kolika je y komponenta električne
sile ovog prstena na naše tačkasto naelektrisanje.
Da bismo to uradili, moramo da izračunamo površinu ovog
prstena, pomnožimo sa gustinom naelektrisanja, i imaćemo
ukupno naelektrisanje od ovog prstena i onda možemo da
iskoristimo Kulonov zakon da izračunamo silu ili polje
u toj tački, i onda bismo mogli iskorisiti formulu, koju smo upravo našli,
da izračunamo y komponentu.
Znam da je zamršeno, ali je vredno toga, jer
ćete znati da imamo konstantno električno polje.
Pa uradimo to.
Kao prvo, Kulonov zakon nam kaže... hajde da prvo
izračunamo naelektrisanje ovog prstena.
Dakle Q prstena je jednako čemu?
Jednako je obimu prstena puta
širina prstena.
Recimo da je obim 2*π *r i recimo
da je to veoma tanak prsten.
Veoma tanak.
Širok je dr. Beskonačno mala širina.
Dakle, širina mu je dr. Dakle to je površina prstena, i
koliko će mu biti naelektrisanje?
To je površina puta gustina naelektrisanja, dakle puta sigma.
.
To je naelektrisanje prstena.
A koliko je onda električno polje koje stvara prsten
u tački gde je naše probno naelektrisanje?
Pa Kulonov zakon nam kaže da će sila
prstena biti jednaka Kulonovoj konstanti puta
naelektrisanje prstena puta probno naelektrisanje podeljeno
sa rastojanjem na kvadrat, zar ne?
Pa, kolika je udaljenost između bilo koje tačke
na prstenu i našeg probnog naelektrisanja?
Pa, ovo bi mogla biti jedna od tačaka na prstenu, a ovo
druga, zar ne?
I ovo je kao presek.
Rastojanje bilo koje tačke, rastojanje ovde, računa se
još jednom preko Pitagorine teoreme jer je
ovo talođe r.
Rastojanje je kvadratni koren od
h^2+r^2.
Potpuno je isto kao ovo.
Dakle to je rastojanje na kvadrat i to je jednako k puta
naelektrisanje prstena puta probno naelektrisanje podeljeno sa
rastojanjem na kvadrat.
Pa rastojanje je koren od h^2+r^2,
ako to kvadriramo, postaje samo
h^2+r^2.
Ako želimo da znamo električno polje koje stvara
taj prsten, električno polje je samo sila na probno naelektrisanje
pa ako podelimo obe strane sa Q, naučili smo da je
električno polje prstena jednako Kulonovoj konstanti
puta naelektrisanje u prstenu, podeljeno sa
h^2+r^2.
I kolika je y komponenta
naelektrisanja u prstenu?
Pa biće ovo, zar ne?
Ono šta smo sada rešili je jačina
ovog vektora, zar ne?
Ali želimo njegovu y komponentu, jer se sve
x komponente poništavaju, pa će biti puta
kosinus teta, i videli smo da je kosinus teta
u stvari ovo, i pomnožimo ga sa tim.
Dakle polje koje stvara prsten u y smeru će biti
jednako jačini puta kosinus teta, kojeg smo
izračunali kao h kroz kvadratni koren od
h^2+r^2.
Mogli bismo to malo da pojednostavimo.
Imenilac postaje šta?
h^2+r^2 podignuto na 3/2.
A koliki je brojilac?
Da vidimo, imamo k*h i onda naelektrisanje prstena koje smo
rešili ovde.
To je dakle 2πσr... nadam se da nešto nisam izostavio...
dr. Sada smo izračunali y komponentu, vertikalnu komponentu
električnog polja na visini
h iznad ploče.
I ne čitave ploče, samo električno polje
koje stvara ovaj prsten poluprečinka r od baze ispod
ove visine.
Već sam pričao 12 minuta, i
da dam vama i sebi malo odmora,
nastaviću u idućem videu.
Ali pretpostavljate šta ćemo sada da radimo.
Izračunali smo električno polje koje stvara samo
ovaj prsten, zar ne?
Pa sada možemo da to primenimo na čitavu ploču.
.
Možemo da rešimo za sve prstenove od beskonačnog poluprečnika sve do
nule i to će nam dati sumu svih
električnih polja, i u suštini rezultantno električno
polje na visini h iznad površine ploče.
Vidimo se u sledećem videu.