Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Sada smo na zadatku 48.
Zadatak kaže: Ako x na kvadrat dodamo x-u, zbir je 42.
Hajde da to napišemo.
Ako x na kvadrat dodamo x-u, zbir je jednak 42.
Koja od sledećih vrednosti može biti x?
U suštini, traži se od nas samo da rešimo ovu jednačinu.
Najjednostavniji nacin da ovo zapišemo je kao kvadratnu
jednačinu koja je jednaka nuli i rešimo je.
Pa možemo ovo zapisati kao x na kvadrat plus x - 42
je jednako 0.
I hajde da razmislimo.
Koja dva broja kada se saberu su jednaki 1 a kada
se pomnože, jednaki su minus 42?
I činjenica da kada ih pomnožimo oni su jednaki - 42
nam govori da jedan od njih mora biti pozitivan a drugi
mora da bude negativan.
To je jedini nacin da kada pomnožimo dva broja
dobijemo negativan broj.
Dakle jedan od njih mora da bude pozitivan, a jedan mora
da bude negativan.
I kada saberemo pozitivan i negativan
zapravo nalazimo razliku između ta dva broja.
Dakle razlika između ta dva broja mora da bude 1.
i njihov proizvod mora da bude 42.
I kada vidim 42, ja odmah
pomislim, oh, 6 i 7.
6 puta 7 je 42.
I posto kada ih saberemo dobijemo pozitivnu jedinicu
7 će verovatno biti pozitivan, a -6, ili 6
će biti negativan.
Pa hajde da ovo isprobamo.
(x + 7) * ( x - 6) = 0
U redu, 7 puta - 6 je jednako - 42.
U stvari je 7x + (-6x) = (+) x
Ili možete da posmatrate kao 7 + (-6) je jednako
koeficijentu koji stoji uz x, a koji je 1.
Ali u svakom slučaju, to funkcioniše.
Možemo ovo da izmnožimo i probamo.
Sve što hoću da kažem je da ovo nije neka magija.
Razlog zbog kojeg kažem da zbir mora biti jednak 1
je što kad ovo izmnožimo dobijamo
ovaj izraz.
Ovaj 7 puta x plus -6 puta ovaj x.
To čini ovaj izraz kad to izmnožimo.
Ovaj član dolazi iz proizvoda x puta x.
-42 dolazi iz proizvoda 7 puta -6.
Uglavnom, tu smo stali.
Sad kažemo OK, kako ćemo sada dobiti - znači imamo ove dve zagrade
i kad ih izmnožimo dobijemo 0.
Pa to znači da jedna od tih zagrada ili obe zagrade
imaju vrednost 0.
A to znači da je x plus 7 jednako 0, što dalje znači da
oduzimamo 7 sa obe strane
i dobijemo da je x jednako 7.
Ili x minus 6 je jednako 0.
Dodamo 6 na obe strane jednačine i x je jednako 6. Znači x će biti
ili 6 ili -7.
Imamo ponuđeno rešenje,
pod A.
Sledeći zadatak.
49.
Koju vrednost bi morali dodati na obe strane ove jednačine
da dobijemo izraz koji izgleda kao kvadrat zbira?
Kad želite dobiti nešto što izgleda kao kvadrat zbira onda želite da izraz izgleda
kao - želite ono što je s leve strane
da izgleda kao kvadrat zbira.
Šta je to "kvadrat zbira "?
Ako bi imao x plus a i sve na kvadrat, to bi bilo jednako x plus a
u zagradi puta x plus a u zagradi.
A to je jednako x puta x, x na kvadrat.
x puta ovaj a, a to je plus ax.
I sad ovaj a puta ovaj x.
To je još jedan ax.
Plus ovaj a puta ovaj a.
Znači plus a na kvadrat.
To je jednako x na kvadrat
plus - imamo dva ista člana - plus 2ax plus a na kvadrat.
U suštini želimo sledeće, želimo da leva strana
ima ovaj oblik.
Kažemo to je to što želimo, to je kvadrat zbira.
Možemo reći to je jednako kvadratu zbira (a+x) na kvadrat.
Pa hajde da vidimo kako to postići.
Ako imamo x na kvadrat minus 8x je jednako 5 i tu sam ostavio
malo mesta s razlogom zato jer želimo da dodamo ili
oduzmemo nešto ovde tako da dobijemo izraz koji će izgledati kao razlika kvadrata.
Razmislite o tome.
Kad imate ovakav izraz, da bi dobili da nam ovo
izgleda kao taj izraz, koji god da je ovde koeficijent,
ovaj član ovde mora biti pola ovog člana na kvadrat.
a na kvadrat je pola od 2a pa na kvadrat.
Pa ako uzmemo pola od -8, dobijemo -4.
U ovom slučaju, ako kažemo da je 2a jednako -8, a
bi bilo -4
I koliko je onda -4 na kvadrat?
To je 16.
A ovo je jednačina.
Znači šta god uradite na jednoj strani jednačine, morate to
ponoviti i na drugoj strani jednačine.
Znači, morate napisati da je i ovo jednako...
Znači, morate dodati 16 na obe strane.
U suprotnom, menjate jednačinu.
E sad ovo, nadam se da prepoznajete da je ovo već sad
kvadrat zbira.
Možete da pogledate ovaj obrazac ovde, ili možete
da kažete, OK, ako dodam -4 samom sebi dva puta, dobijam -8.
ako pomnožim to sa samim sobom,dobiću 16.
I to je (x - 4) na kvadrat
I to je jedanko 25.
I zapravo, ako ste radoznali, ovo smo uradili
na Khan Akademiji, uradili smo nekoliko snimaka na ovu temu,
ovako dokazujemo kvadratnu jednačinu.
U suštini završavate proizvoljnim ciframa
a,b i c i dobijate kvadratnu jednačinu.
Vidite, pokazujemo ovo u 10 minuta, tako da nije toliko
nemoguće razumeti.
Žele da znaju, šta dodajete obema stranama
ove jednačine?
Šta treba dodati obema stranama ove jednačine
da bi se formirao kvadrat?
Odgovor na ovo je 16.
Ali su takođe mogli reći, rešiti ovo
dopunjavanjem do kvadrata.
A vi ćete reći oh, x minus 4 na kvadrat je jednako 25.
Dakle x minus 4 je jednako plus ili minus 5.
I onda ćete reći, x je jednako plus ili
minus 5 plus 4.
A onda ćete reći, OK, što je 4 plus
pozitivno 5 je 9.
4 minus 5 je minus 1.
U svakom slučaju nisu nas pitali to, tako da ne moramo
provoditi previše vremena misleći o tome.
...
Da vidimo, sada smo na problemu 50.
Da vidim, problem 50
Kopiraću problem 50 i 51.
U redu, šta su rešenja kvadratne
jednačine x na kvadrat plus 6x je jednako 16?
Izazov ovde je da pokušate da rešite ovo
onako kako rešavate linearnu jednačinu.
Ne znam, izvucite x ispred zagrade i-- ne znam, uradite
šta god dalje.
Ali bitno je prepoznati da je ovo
kvadratna jednačina.
I najlakši način da je rešite je da prebacite sve na
jednu stranu i onda dobijete 0 na drugoj strani.
Onda možete ili da faktorišete ili da iskoristite
pravu kvadratnu jednačinu.
Ili dopunite do kvadrata, šta god već treba da uradite.
Tako da hajmo da oduzmemo 16 od obe strane.
Dobićete x na kvadrat plus 6x minus 16 da je jednako 0.
Oduzeću 16 na obe strane da dođem dovde.
I pre nego što samo uskočim u kvadratnu jednačinu, hajde da
vidimo možemo li da nešto faktorišemo.
Dakle koja dva broja, kada ih dodam, iznose 6 -- a mi
želimo pozitivnu 6-- a kada iz pomnožimo iznose -16?
I još jednom, zato što je to - 16, ako ih pomnožimo
dobićemo negativnni broj.
Moraju biti različitog znaka.
Jedan mora da bude pozitivan a drugi negativan.
A njihova razlika će biti 6 jer je jedan pozitivan a
drugi negativan.
Da razmislim.
Dakle ako imam minus -- dobro, 8 i 2 je jednako 16.
I razlika je 6.
Tako da ako uzmem plus 8 i minus 2 -- tako je.
Plus 8 i minus 2 je plus 6.
Tako da je x plus 8 puta x minus 2.
A za ovo vam zaista treba dosta vežbe.
Kažete, OK, koja dva broja?
16.
OK.
8 i 2
Moraće da budu različitog znaka.
Ali imam pozitivan ovde, tako da koji god broj
da je veći verovatno će biti pozitivan.
Znači, plus 8 i minus 2.
Da, kada ih saberete, iznose minus 6.
Tako je, radi.
Ovo izjednačite sa nulom.
I kažete, OK, ovo bi moralo da bude
jednako 0
Tako da je x jednako minus 8.
Ako kažete x plus 8 je jednako 0 i onda oduzmete 8 od obe
strane, dobićete x da je jednako minus 8.
Nisam smeo da preskočim taj korak, ali
uradiću ga ovde.
Ili bi ste mogli reći x minus 2 je jednako 0.
Dodajte 2 na obe strane, i dobićete x da je jednako 2.
Koje x ovo izjednačava sa 0?
Možete i sami da vidite.
Dakle x bi moglo da bude ili minus 8 ili 2, i to je odgovor C.
Problem 51.
Leanne je tačno rešila jednačinu x na kvadrat plus 4x
jednako 6 dopunjujjući do kvadrata.
Koja je jednačina deo njenog rešenja?
OK, ista stvar.
x na kvadrat plus 4x.
Kada dopunjavate kvadrat dodaćete
nešto ovde.
Ostaviću ovde prazan prostor.
Ovo je jednako 6.
Šta bih mogao da dodam da ovaj izraz liči
na potpun kvadrat?
Uzeću šablon koji smo koristili
par problema ranije.
Šta god da je ovde bi trebalo da bude kvadrat polovine ovoga.
Dakle 4 -- dobro, polovina od ovoga je 2.
2 na kvadrat je 4.
Mogao bih da dodam 4 na obe strane.
Ako dodam 4 na onu stranu, moram dodati 4
i na ovu stranu takođe.
Sada je ovo 2 plus 2 jednako 4.
2 puta 2 je 4.
Dakle, ovo je x plus 2 na kvadrat.
I stvarno želim da steknete osećaj.
Nemojte pamtiti napamet korake za dounjavanje do kvadrata.
Želim da zaista razumete zašto je to tako.
Ovo je kvadrat polovine ovoga
I pokazali smo ovo na početku.
Kvadrirajte dosta binoma da vidite da će ovo
uvek da bude slučaj.
U svakom slučaju ovo je x plus 2 na kvadrat.
Ovo će biti jednako -- 6 plus 4 je jednako 10.
I to je odgovor pod B.
...
Mislim da imamo vremena za još jedan.
Još jedan problem, problem 52.
Kopirao sam ga i preneo.
Karter rešava ovu jednačinu faktorisanjem.
Koji izraz bi mogao da bude tačan faktor?
Još jednom, želim da razdvojim
broj koji ide u sve njih.
Svi ovi su deljivi sa 5.
I ovo uprošćava sve u mojoj glavi.
Dakle ako podelim sve ovo sa 5 -- zapravo, mogu samo da
podelim obe strane jednačine sa 5.
0 podeljeno sa 5 je 0.
Onda leva strana podeljena sa 5 postaje 2x
na kvadrat minus 5x plus 3 je jednako 0.
Dakle, ako je ovo 2x na kvadrat ovde, biće dva
broja kada ih pomnožite, biće 3 i kada ih --
da razmislimo malo o ovome.
Zapravo, hajde da napišem to ovde jer mislim da će nam trebati
više prostora.
2x na kvadrat minus 5x plus 3 je jednako 0.
I samo da podelimo obe strane
sa 5 da dobijemo ovo.
Da vidimo šta možemo da uradimo ovde.
Imamo 2x na kvadrat ovde i već su nam
sugerisali da imamo celobrojno rešenje,
tako da možemo da faktorišemo ovo.
Pretpostavljamo da će to biti 2x puta --
znate, plus nešto.
Plus a.
Puta -- dakle puta šta?
Puta verovatno x, zar ne?
2x puta x je 2x na kvadrat.
Ovo ne bi bilo potpuno očigledno da nam nisu
već rekli da ovo možemo da faktorišemo.
Možda treba da koristite
kvadratnu funkciju ili nešto tako.
Zapravo, kvadratna funkcija ne bi bila neko
ludilo u ovom slučaju, jer možete jednostavno
da ubacite u jednačinu i vidite rezultat.
Ali hajde da vidimo da li možemo da steknemo osećaj.
Znači, biće 2x plus nešto puta x plus
nešto drugo.
Ako bismo ovo pomnožili, dobili bi 2x puta x je 2x
na kvadrat, kao što i treba.
2x puta b je plus 2bx.
a puta x je plus ax.
a puta b je plus ab.
I hajde da vidimo šta smo dobili.
...
Dakle, plus 2b plus ax plus ab.
2x na kvadrat.
OK, sada možemo da uradimo prepoznavanje šablona.
Ovo je bilo na početku.
2 puta b plus a teba da bude jednako -- ovaj član je
isti kaoovaj član upravo ovde.
A ovaj član mora da bude isti kao
onaj član tamo.
Pre svega, ovde imam pozitivno 3.
Znači, množim da broja da bi dobio pozitivno 3.
Dakle ili su oba pozitivna ili oba negativna.
I druga zanimljiva stvar je da imamo -- kada uradim
2 puta jedan od njih plus drugi,
dobijem negativan broj.
Jedini način, kada radite sa negativnim brojevima,
i kada ih samo pomnožite sa pozitivnim i dodate ih
jedan drugom, dobijate još jedan negativan broj, kao da su
oba negativna.
Ovo nam kaže da oba moraju da budu negativna
jer je ovo pozitivno.
I onda, pošto kada ih saberate bez negativnih
predznaka dobijete negativan broj, to nam govori da to
takođe mora da bude negativno.
Pa hajde da vidimo.
Da probamo 3 -- negativno 3 i negativno 1.
Ako su negativno 3 i negativno 1.
U pravu ste.
Da.
Ako je b jednako minus 1 i a je jednako minus 3, tada je 2
puta minus 1 jednako minus 2.
Minus 3.
Da, znači b je jednako minus 1 i a je jednako minus 3.
Ovo je pomalo umetnost.
Hoću da kažem da ne postoji jednostavan, mehanički način
da uradite ovo.
Kvadratna jednačina jeste jedan, ali ovo je najbolji način da,
makar koji ja znam da ovo uradite.
Dakle, znamo šta je a i šta je b.
To je 2x -- a je minus 3.
2x minus 3 pomnoženo sa x plus b. b je minus 1.
I to je faktorizacija-
Dakle, 2x minus 3 puta x minus 1, koji?
Imaju ovaj upravo ovde.
2x minus 3.
I nestalo mi je vremena.
Vidimo se u sledećem snimku.