Tip:
Highlight text to annotate it
X
Četvrta dimenzija
Moje ime je Ludvig Šlefli,
ja sam švajcarski geometar.
Živeo sam tokom devetnaestog veka,
a za vas ću otvoriti vrata četvrte dimenzije!
Iako to sam za sebe kažem, bio sam vizionar.
Ja sam bio jedan od prvih ljudi
koji su shvatili da prostori
sa većim brojem dimenzija zaista postoje,
te da se njihova geometrija može proučavati.
Ako spljoštena bića koja žive u ravni, mogu shvatiti
tro-dimenzionalne poliedre,
zašto, onda, mi ne bismo mogli shvatiti poliedre u 4. dimenziji?
Jedno od mojih najvećih dostignuća
jeste opisivanje standardnih poliedara u 4. dimenziji.
Šta je četvrta dimenzija?
Mnogo toga je napisano na tu temu.
Pisci naučne fantastike ne mogu je se zasititi!
Stvari ću objašnjavati na tabli.
Videćete da je ova tabla pomalo magična.
Bitno je da se pripremite da zaboravite sve o svetu
koji vam je poznat,
te da zamislite novi svet
kojem naše oči i čula nemaju direktnog pristupa.
Moraćemo biti pametni, baš kao što su pre nas bili gušteri.
Ja ću se popeti na tačku gledišta
koju vi, na žalost, ne možete videti,
te ću vam pokušati objasniti šta vidim sa te tačke.
Ali pre nego počnem, nacrtaću pravu liniju na tabli.
Označiću koordinatni početak.
Svaka tačka na ovoj pravoj se može locirati
kao udaljenost od tačke koordinatnog početka,
sa predznakom minus, ako je na levoj strani,
ili sa predznakom plus, ako je na desnoj strani.
Obično, broj se označava kao x
i zove se apscisa.
Budući da se pozicija tačke na pravoj
može opisati sa samo jednim brojem,
kažemo da prava ima jednu dimenziju.
Sada ću nacrtati drugu osu,
normalnu na prethodnu.
Svaka tačka na ravni table
je sada u potpunosti opisana sa samo dva broja,
koji se obično označavaju sa x i y: apscisa i ordinata.
Ravan ima dve dimenzije.
Ako biste objašnjavali nekom biću koje živi na pravoj,
šta znači biti tačka u ravni, što mu je nepoznato,
mogli biste jednostavno reći
"Tačka u ravni je samo par brojeva".
Idemo sada u treću dimenziju.
Kreda sada piše po vazduhu,
i crta treću osu, koja je normalna na prethodne dve.
Tačka u prostoru je opisana sa tri broja,
x, y i z.
Moglo bi se reći reptilima
koje interesuje naš svijet
"Tačka u prostoru su samo tri broja".
Idemo sada u četvrtu dimenziju.
Mogli bi pokušati nacrtati četvrtu osu
normalnu na sve ostale, ali to je nemoguće!
Zato umesto toga, moramo učiniti nešto drugo.
Naravno, mogli bi jednostavno reći
da tačka u četvrtoj dimenziji
nije ništa drugo do 4 broja: x, y, z, t.
Ali nam to baš ne pomaže mnogo!
Uprkos svim poteškoćama, pokušaćemo dobiti
osećaj za ovu vrstu gemoterije.
Kao prvi pokušaj razumevanja,
postupićemo po analogiji.
Evo ga odsečak,
jednakostranični trougao,
i pravilni tetraedar.
Naša čarobna tabla nam omogućava da crtamo po vazduhu.
Kako to možemo primenitii u četvrtoj dimenziji?
Primetite da odsečak, trougao i tetraedar
imaju po dva, tri, odnosno četiri vrha.
Stoga, možemo pokušati nastaviti sa 5 vrhova!
Pokušajmo.
Na odsečku, trouglu ili tetraedru
po jedna stranica spaja svaki par vrhova.
Zbog toga moramo spojiti svih pet vrhova u parovima.
Brojimo...
jedana ivica
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10 ivica.
Na tetraedru
postoji trouglasta stranica za svaku trojku vrhova.
Nastavljamo na isti način,
što nam konačno daje
2, 3, ..., 10 stranica.
Ali, ako nastavimo, analogijom bi
morali pridružiti tetraedarsku stranicu
svakoj četvorci vrhova.
Postoji ih 5.
Upravo smo konstruisali naš 4-dimenzionalni objekat.
Zovemo ga "simpleks".
Zavrtimo ga malo po vazduhu,
kao što smo učinili sa tetraedrom.
Naravno, moramo zamisliti kako se simpleks vrti
u 4-dimenzionalnom prostoru,
jer mi vidimo samo njegovu projekciju na tabli.
Malo je komplikovano
jer su stranice zapetljane, te seku jedna drugu.
Potrebno je nešto iskustva da bismo mogli gledati u 4 dimenzije.
Uzmimo naš simpleks,
koji je u prostoru sa četiri dimenzije,
te ga pomerajmo tako da njegovi različiti preseci
susretnu "naš" 3-dimenzionalni prostor.
Na isti način, na koji su reptili
videli poligon koji se pojavljuje i nestaje,
mi ćemo videti 3-dimenzionalni poliedar,
koji se pojavljuje, menja oblik, a zatim nestaje.
Vidimo simpleks kako prolazi kroz 3-dimenzionalni prostor.
Sada ćemo videti još
poliedara u 4 dimenzije
kako prolaze kroz naše 3 dimenzije.
Evo hiperkocke, koja počinje
sa odsečkom, te se menja u kvadrat, a zatim u kocku.
Mora se reći da je sticanje osećaja za ovu geometriju,
metodom sečenja na kriške, poprilično teško.
Otkrio sam tela analogna ikosaedru i dodekaedru.
Imaju prilično komplikovana imena,
ali ću ih ja nazivati jednostavno 120-ka i 600-ka,
jer imaju po 120 i 600 stranica.
Pogledajte 120-ku, koja upravo prolazi našim prostorom.
Evo sada i 600-ke.
Kada kažem da 4-dimenzionalni poliedar ima 600 stranica,
mislim na 3-dimenzionalne stranice.
Da, ovih 600 stranica je zapravo 600 poliedara.
Što se 120-ke tiče, sastoji se od 120 dodekaedara!
Uskoro ćemo videti kako ih možemo bliže upoznati.
Da bismo posmatrali 4-dimenzionalne objekte
sa našim 3-dimenzionalnim očima,
možemo posmatrati njihove senke.
Objekti su i dalje u 4-dimenzionalnom prostoru,
ali su projektovani na 3-dimenzionalni prostor,
baš kao što bi slikar projektovao pejzaž na platno.
To smo već uradili sa simpleksom.
Ovdje vidimo hiperkocku.
Vrti se u vazduhu, da bismo
mogli pogledati sve detalje.
Primetite da ima 16 vrhova.
Evo sada nešto novo.
Jedan od mojih najepših otkrića.
Objekat, kojeg ja zovem 24-ka,
i nema analognog objekta u tri dimenzije.
To je u potpunosti 4-dimenzionalno stvorenje.
Veoma sam ponosan na ovo otkriće.
Pogledajte je! 24 vrha, 96 ivica, 96 trouglova i 24 oktaedra.
Pravi mali dragulj!
Ovde vidimo senku 120-ke
i svo njeno veličanstvo.
Morate se složiti, da je poprilično komplikovana.
Uđimo unutra i pogledajmo strukturu.
600 vrhova, 1200 ivica.
4 ivice izbijaju iz svakog vrha.
U potpunosti uređena struktura.
Svi vrhovi i sve ivice igraju istu ulogu.
Šteta je što projekcija kvari simetriju.
Vežbajmo malo vašu maštu.
Zamislite objekt u 4 dimenzije
gde velika količina rotacija
permutuje sve ove vrhove i rubove.
Šampion je... 600-ka.
Ona je poput divovskog makro-molekula
sa svojih 720 ivica i 120 vrhova.
Po dvanaest ivica izbija iz svakoh vrha.
Naše istraživanje poliedara
u 4 dimenzije ne prestaje ovde,
jer će nam sigurno njihove stereografske projekcije
dati mnogo bolji osećaj njihove geometrije.