Tip:
Highlight text to annotate it
X
Nakon prethodnog videa, nadam se malo smo
bolje upoznati sa sabiranjem matrica.
A sad hajde da naučimo da množimo matrice.
Imajte u vidu, ovo su definicije stvorene od strane ljudi za
množenje matrica.
Mogli smo doći do potpuno drugačijih načina
kako da ih pomnožimo.
Ali ja vas ohrabrujem da učite na ovaj način jer će vam pomoći
na časovima matematike.
I videćemo kasnije da postoji puno
primena koje proističu iz ovog tipa množenja
matrica.
Smisliću dve matrice.
Napraviću 2 sa 2 matrice, pa hajde da ih pomnožimo.
Recimo... izabraću neke nasumične brojeve: 2,
minus 3, 7 i 5.
A onda ću pomnožiti tu matricu, ili tu tablicu
brojeva sa 10, minus 8... da izaberem neki dobar broj
evo... 12 a onda minus 2.
Pa sada može doći do jakog iskušenja... a znate
na neki način nije ni zabranjeno iskušenje da
se postupi na isti način prilikom množenja kao što smo postupili
prilikom sabiranja, dakle samo pomnožiti odgovarajuće
pojmove. Tako možete biti u iskušenju reći, pa prvi član
ovde član 1,1 ili u član prvom redu i prvoj
koloni će biti 2 puta 10.
A ovaj članće biti minus 3 puta
minus 8 i tako dalje.
Tako smo sabirali matrice pa je možda
prirodan nastavak da množimo matrice na isti način.
To je opravdano.
Neko je to mogao tako definisati ali to nije način kako jeste definisano
u realnom svetu.
A način kako je to u realnom svetu,
naravno, malo je kompleksniji.
Ali ako pogledate gomile primera ja
mislim da ćete skapirati.
I naučićete da je zapravo dosta
jednostavno.
Pa kako mi to da uradimo?
Dakle prvi član koji je u prvom redu i prvoj
koloni je jednak prvom vektoru po redu...
prvom vektora reda...
pomnožen ovim vektorom kolone.
Šta sad ja mislim o tome?
Dakle rezultat dobija inormacije o redu od redova
prve matrice i dobija informacije o koloni od
kolona druge matrice.
Pa kako to da uradim?
Ako ste upoznati sa skalarnim proizvodom, to je u suštini
skalarni proizvod ove dve matrice.
Bez fensi izraza to je samo ovo:
2 puta 10, pa 2... napisaću to manje... puta 10, plus
minus 3 puta 12.
Ostaću bez mesta ovde.
A šta je onda ovaj drugi član ovde?
Pa, i dalje smo kod prvog reda proizvodnog vektora ali
sada smo u drugoj koloni.
Dobijamo informacije o koloni odavde.
Da izaberemo valjanu boju... ova je malo drugačija
nijansa purpurne.
Sada će ovo biti... uradiću to u drugoj
boji... 2 puta minus 8... samo da zapišem broj...
2 puta minus 8 je minus 16, plus minus 3 puta minus 2...
koliko je minus 3 puta minus 2?
To je plus 6 jel?
To je dakle u redu 1 koloni 2.
To je minus 16 plus 6.
I spustimo se ovde dole.
Sada smo u drugom redu.
Pa ćemo sada koristiti... dobijamo našu infrormaciju o redu
iz prve matrice... Znam da je ovo konfuzno
i žao mi vas je u ovom trenutku ali proći ćemo
kroz gomile primera i mislim da će se sve razjasniti.
Ovaj član... donji levi... će biti ovaj red
puta ova kolona.
Pa imamo 7 puta 10, dakle 70, plus 7 puta 10
plus 5 puta 12, plus 60.
A donji desni će biti 7 puta minus 8
što je minus 56, plus 5 puta minus 2.
To je minus 10.
Pa će konačni proizvod biti 2 puta 10 je 20, minus 36
to je minus 16 plus 6, znači 10.
90... jel to rekoh?
Ne, to je... 70, plus 60, to je 130.
A zatim minus 56 minus 10, dakle minus 66.
Eto vam ga.
Upravo smo pomnožili ovu matricu ovom matricom.
Da uradim još jedan primer.
I moram ga stisnuti na ovu stranu
da bismo mogli ostaviti ovu stranu uređenijom.
Uzmimo matricu sada 1,2,3,4 puta
matrica 5,6,7,8.
Sada imamo više mesta za rad pa će ovo
biti urednije.
OK, ali ja ču uraditi istu stvar, da bi dobio ovaj
član ovde... gornji levi član... uzećemo...
ovaj što zauzima red 1 u koloni 1... uzećemo
informaciju o redu odavde, i informaciju o
koloni jedan odavde.
Možete gledati na ovo kao vektor ovog reda
puta vektor ove kolone.
Tako da je rezultat 1 puta 5, plus 2 puta 7.
U redu?
Eto ga.
I tako ovaj član, biće vektor ovog reda puta
vektor ove kolone... promeniću boju... biće
1 puta 6, plus 2 puta 8.
Da zapišem to.
Dakle 1 puta 6, plus 2 puta 8.
Sada se spuštamo u drugi red.
I dobijamo informaciju o redu iz prvog vektora... samo da
ga zaokružim ovom bojom... i to je 3 puta 5
plus 4 puta 7.
Eto nas pri dnu desno, dakle u donjem
redu u drugoj koloni.
Informacija o redu odavde a o koloni
odavde.
Pa je to 3 puta 6, plus 4 puta 8.
Ako pojednostavimo, ovo je 5 plus...
Pa zapravo, samo da vas potsetim odakle svi
brojevi potiču.
Imamo zelenu boju, u redu?
Ovo 1 i ovo 2, to je ovo 1 i ovo 2,
ovo 1 i ovo 2.
U redu?
Opazite, ovo je iz prvog reda i nalazi se u
prvom redu ovde.
A ovo 5 i ovo 7?
Pa to je ovo 5 i ovo 7, i ovo 5 i ovo 7.
Dakle interesantno.
Ovo je iz kolone 1 druge matrice a ovo je u
koloni 1 matrice proizvoda.
I slično, 6 i 8.
To je ovo 6, ovo 8, a onda je iskorišćeno ovde, ovo 6
i ovo 8.
A onda ovo 3 i 4 braon boje, pa to je
ovo 3 i ovo 4, i ovo 3 i ovo 4.
I naravno mogli bismo to sve pojednostaviti.
Ovo beše 1 puta 5, plus 2 puta 7, to je 5 plus 14,
dakle 19.
Ovo je 1 puta 6, plus 2 puta 8, pa je 6 plus
16, a to je 22.
Ovo je 3 puta 5, plus 4 puta 7.
Dakle 15 plus 28, 38, 43... ako me služi matiš... a onda
imamo 3 puta 6, plus 4 puta 8.
To je 18 plus 32, daje 50.
Sad da vas pitam... samo da bi znali da je proizvod
matrice... uređeno... to je
19, 22, 43 i 50.
A sad pitanje.
Kada smo sabirali matrice naučili smo da ako imamo dve
matrice... redosled operacije sabiranja nije bio bitan.
Pa kad bismo rekli A plus B... a ovo su matrice, zato
ih podebljavam... rekli smo da je to isto kao
B plus A, na osnovu načina na koji smo definisali sabiranje
matrica, B plus A.
Konačno to pitanje.
Da li množenje dve matrice, da li AB... da li to samo znači
da množimo A i B... Da li je to isto što i BA?
Da li je to bitno?
Da li je redosled operacije množenja matrice bitan?
Da ne dužim, zapravo je bitan
u ogromnoj meri.
I zapravo postoje određene matrice koje možete sabrati
u jednom pravcu ali ne i u drugom... Ufff pardon
koje možete pomnožiti u jednom pravcu ali ne
i u drugom.
Hajde, pokazaču vam to u primeru... ali samo da
pokažem da se ovo čak ne odnosi na večinu matrica,
ohrabrujem vas da pomnožite ove dve matrice u
obrnutom redu.
Ajd' ja ću to uraditi.
Da to zbrzeljam samo da bih vam dokazao
poentu.
Izbrisaću ovaj gornji deo.
Izbrisaću sve to, a mogu i ovo da izbrišem.
Nadam se da znate da ću množenjem ove matrice
ovom matricom dobiti ovu.
Izmeniću sada redosled... i požuriću
taman toliko da vas ne smorim... samo da zamenim redosled
množenja matrica.
Ovo je dobro jer je ovo još jedan primer... pa ću
pomnožiti ovu matricu: 5, 6, 7, 8 ovom matricom
i samo sam zamenio redosled i testiraćemo da vidimo da li
je redosled bitan... 1, 2, 3, 4-
Uradimo to... i neću sad brljati raznim bojama.
samo ću uraditi to sistematično.
Mislim da ste već videli dosta primera ovde pa ovaj
prvi člam donija informaciju o redu iz prve
matrice, a informaciju o koloni iz ove druge.
Pa je to 5 puta 1, plus 6 puta 3, pa ide 5 puta 1...
Samo da upišem, zapravo prepravim.
Preskočiću ovaj korak ovde---- Ok pa ide 5 puta 1
plus 6 puta 3, plus 18.
Koji je drugi član ovde?
Biće 5 puta 2, plus 6 puta 4.
Pa 5 puta 2 je 10, plus 6 puta 4 je 24.
Tako, sada smo samo uzeli ovaj red i pomnožili
sa ovom kolonom ovde.
OK sada smo ovde dole, sređujemo... radimo ovaj
red, ovaj element ovde dole levo će
koristiti ovaj red i ovu kolonu.
Pa to je 7 puta 1, plus 8 plus 3.
8 puta 3 je 24.
I konačno, da bi dobili ovaj element mi sada
množimo ovaj red sa ovom kolonom, pa je to 7 puta 2
dakle 14, plus 8 puta 4, plus 32.
To je jednako 5 plus 18 je 23, i na kraju 34.
Šta je 7 plus 24?
To je 31, 46.
Primetimo, nazvali smo ovu matricu A a ovu
B, tako?
U prethodnom primeru videsmo da je A puta B
19, 22, 43, 50.
I upravo smo pokazali da ako obrnemo redosled
B puta A je potpuno drugačija matrica.
Pa je redosled množenja
matrica veoma bitan.
Ponestaje mi vremena.
U sledećem videu govoriću više o
tipovima matrica... prvo, znamo da je redosled biran...
a u sledećem videu pokazaću koje tipove
matrica možemp međusobno pomnožiti.
Kada smo sabirali ili oduzimali matrice, rekli smo
da moraju imati iste dimenzije jer
dodajete ili oduzimate odgovarajući član. Ali
videćete da je sa množenjem malo drugačije.
A to ćemo uraditi u sledećem videu.
Vidimo se uskoro.