Tip:
Highlight text to annotate it
X
Kada sam bio u 4. razredu, učitelj nam je rekao:
"Parnih i celih brojeva ima podjednako mnogo."
"Zaista?", pomislio sam. Ali, i jednih i drugih ima beskrajno mnogo, pa je logično da ih ima isto.
Ali, sa druge strane, parni brojevi su samo deo celih brojeva, ostaju neparni brojevi,
tako da mora da bude više celih nego parnih brojeva, zar ne?
Da bismo razumeli šta je moj učitelj mislio, hajde prvo da razmislimo
šta znači imati dva jednaka skupa.
Šta mislim kada kažem da na levoj i desnoj šaci imam isti broj prstiju?
Naravno, imam po 5 prstiju na svakoj, ali to je zapravo još jednostavnije.
Ne moram da brojim, dovoljno je da vidim da svaki prst sa jedne ruke ima svoj par na drugoj.
Zapravo, verujemo da su neki stari narodi čiji jezici nisu imali reči za brojeve veće od 3
koristili ovu vrstu uparivanja. Recimo, ako pustite ovce iz obora na ispašu,
možete pratiti koliko ih je otišlo tako što ćete odvojiti po kamenčić za svaku,
a onda vratiti te kamenčiće na mesto, jedan po jedan, kako se ovce vraćaju.
Na taj način, znate ukoliko neka nedostaje i bez pravog brojanja.
Kao još jedan primer da je uparivanje mnogo jednostavnije od brojanja je
da ako govorim u prepunoj prostoriji, a sva mesta su popunjena i niko ne stoji,
znam da je isti broj stolica i prisutnih ljudi
iako ne znam koliko je tačno jednih ili drugih.
Dakle, šta u stvari mislimo kada kažemo da su dva skupa jednaka jeste
da svi elementi oba skupa mogu biti upareni, jedan prema jedan, na neki način.
Dakle, moj učitelj je ispisao cele brojeve u jednom redu i ispod svakog je dopisao duplo veći broj.
Kao što vidite, donji red sadrži sve parne brojeve i imamo poklapanje "1-1".
Ovo pokazuje da postoji isti broj celih i parnih brojeva.
Ali, još uvek nam je smetala činjenica da su parni brojevi samo deo skupa celih brojeva.
Ali, da li vas ovo ubeđuje da na desnoj ruci nemam isti broj prstiju kao na levoj?
Naravno da ne. Nebitno je ako pokušamo da uparimo elemente na neki način i to ne uspe,
to nas ne ubeđuje ni u šta.
Ali ako nađemo makar jedan način da uparimo elemente dva skupa,
onda kažemo da ti skupovi imaju isti broj elemenata.
Možete li da napravite spisak svih razlomaka? Teško, ima ih previše!
Dodatno, nije očigledno šta ide prvo i kako biti siguran da je sve na spisku.
Ipak, postoji jako dobar način na koji možemo napraviti spisak svih razlomaka.
Georg Kentor je bio prvi koji je ovo uradio, krajem 19. veka.
Prvo, napravimo tabelu svih razlomaka. Svi su tu. Na primer, možemo naći 117/243
u 117. redu i 243. koloni.
Zatim pravimo spisak počinjući iz gornjeg levog ugla i idemo napred i nazad dijagonalno,
preskačući sve razlomke poput 2/2, jer oni predstavljaju isti broj koji smo već zapisali.
Tako dobijemo spisak svih razlomaka, što znači da smo napravili "1-1" povezivanje
između celih brojeva i razlomaka, iako smo na početku mislili da razlomaka ima više.
Ok, sada postaje stvarno zanimljivo.
Možda znate da nisu svi realni brojevi - oni koji se nalaze na brojevnoj pravoj - razlomci.
Kvadratni koren iz 2 i Pi, na primer.
Svaki broj poput ovih zove se iracionalan. Ne jer je lud ili nešto tako, već zato što su razlomci
delovi celih brojeva i zato su nazvani "racionalni"; što znači da je ostatak ne-racionalan,
odnosno, "iracionalan".
Iracionalni brojevi imaju beskonačne, neponavljajuće decimale.
Pitanje je možemo li napraviti "1-1" poklapanje između svih celih brojeva i skupa svih decimala,
i za racionalne i za iracionalne brojeve? Odnosno, možemo li napraviti spisak svih decimala?
Kendor je pokazao da ne možemo.
Ne samo da ne znamo kako, već da to ne može biti urađeno.
Pogledajte, pretpostavimo da tvrdite da ste napravili spisak svih decimala.
Pokazaću vam da niste uspeli
pravljenjem decimale koja nije na vašoj listi.
Postepeno ću dodavati po jedan broj svojoj decimali.
Za prvo mesto u mojoj decimali pogledaću prvi broj u vašoj decimali.
Ako je to 1, ja ću u mojoj zapisati 2; u suprotnom, zapisaću 1.
Za drugo mesto mog broja, pogledaću drugo mesto vašeg drugog broja.
Ponovo, ako je vaš 1, zapisaću 2; u suprotnom, zapisaću 1.
Vidite kako ide? Broj koji stvaram ne može biti na vašoj listi.
Zašto? Hajde da pogledamo da li je 143. broj isti? Ne, zato što je 143. broj u mojoj decimali
različit od 143. mesta u vašem 143. broju. Tako sam napravio svoj broj.
Dakle, vaša lista nije kompletna jer ne sadrži moj decimalni broj.
I, bez obzira kakvu listu brojeva mi date, mogu uraditi isto i stvoriti decimalu koje nema kod vas.
Dakle, suočavamo se sa zapanjujućim zaključkom:
ne možemo napraviti spisak svih decimalnih brojeva.
Oni predstavljaju veću beskonačnost od beskonačnosti celih brojeva.
Iako smo upoznati sa nekim iracionalnim brojevima, poput kvadratnog korena iz 2 i Pi,
beskonačnost iracionalnih brojeva zapravo je veća i od beskonačnosti razlomaka.
Neko je jednom rekao da su racionalni brojevi - razlomci - poput zvezda na noćnom nebu;
dok su iracionalni tama između njih.
Kentor je još pokazao da, ako za bilo koji beskonačni skup
napravimo novi skup, sačinjen od svih podskupova polaznog skupa,
to će biti veća beskonačnost od one koju ima polazni skup. Ovo znači da kada imamo jednu beskonačnost,
uvek možemo da napravimo veću, formirajući skup sačinjen od svih podskupova prvog skupa.
A onda čak i veću praveći skup svih podskupova drugog skupa. Itd.
Dakle, postoji beskonačan broj beskonačnosti različitih veličina.
Ako se zbog ove pomisli osećate nelagodno, niste jedini. Neki od najvećih matematičara, Kentorovih savremenika,
bili su veoma zaokupljeni ovim problemima. Pokušali su da ove različite beskonačnosti učine nevažnim,
da omoguće matematici da nekako funkcioniše i bez njih.
Kentor je bio čak i lično omalovažavan, što je uticalo na tešku depresiju kroz koju je prošao.
Proveo je drugu polovinu života u čestim posetama psihijatrijskim ustanovama.
Ali na kraju, njegove ideje su priznate. Danas ih smatraju temeljnim i veličanstvenim.
Svi matematičari koji se bave istraživanjem prihvataju su ove ideje,
one se uče na svim matematičkim fakultetima i objasnio sam vam ih u nekoliko minuta.
Jednog dana će, verovatno, postati deo opšte kulture.
Ali ima još. Upravo smo istakli da skup decimalnih, odnosno realnih brojeva,
predstavlja veću beskonačnost od skupa celih brojeva. Kendor se pitao postoje li beskonačnosti
različitih veličina između ovih dveju beskonačnosti. Verovao je da ne postoje, ali nije mogao to da dokaže.
Kendorova pretpostavka postala je poznata kao hipoteza kontinuuma.
1900., veliki matematičar Dejvid Hilbert izdvojio je hipotezu kontinuuma
kao najvažniji nerešeni problem u matematici.
20. vek je doneo rešenje ovog problema, ali na potpuno neočekivan način
koji je promenio ceo pristup problemu.
Tokom 1920-ih Kurt Godel je pokazao
da je nemoguće dokazati da je hipoteza kontnuuma pogrešna.
Zatim, tokom 1960-ih, Pol Dž. Košon je pokazao da je nemoguće dokazati
da je hipoteza kontinuuma tačna.
Sve skupa, ovo pokazuje da u matematici postoje pitanja na koja nema odgovora.
Veoma iznenađujući zaključak.
Matematika se s pravom smatra vrhuncem ljudskog razmišljanja,
ali danas nam je poznato da čak i matematika ima ograničenja.
Ipak, matematika nam pruža neke zaista neverovatne stvari o kojima možemo da razmišljamo.